Если у вас есть устройство с круглым экраном либо эмулятор таких устройств, то вы можете открыть на нем ваш сайт и посмотреть, что не поместилось на экране. А затем переделать сайт таким образом, чтобы в углах не было ничего важного вроде текста, картинок, ссылок и кнопок.
Я пока что не встречал @media-фильтров CSS для круглых экранов. Но вы могли бы через JavaScript запросить имя браузера, если для часов оно отличается от браузеров для ПК, смартфонов и планшетов. И для такого имени задавать элементам страницы особый класс, который изменит их отображение.