Квадратный экран ничем не отличается от прямоугольного: для показа сайта важна ширина окна и не имеет значения его высота.
Никто не адаптирует сайты под круглый экран - за ненадобностью. Если тебе надо показывать информацию на круглом экране, делай для этого приложение, а не пытайся впихнуть в заточенные под прямоугольники HTML+CSS.
Если у вас есть устройство с круглым экраном либо эмулятор таких устройств, то вы можете открыть на нем ваш сайт и посмотреть, что не поместилось на экране. А затем переделать сайт таким образом, чтобы в углах не было ничего важного вроде текста, картинок, ссылок и кнопок.
Я пока что не встречал @media-фильтров CSS для круглых экранов. Но вы могли бы через JavaScript запросить имя браузера, если для часов оно отличается от браузеров для ПК, смартфонов и планшетов. И для такого имени задавать элементам страницы особый класс, который изменит их отображение.