Можно. Это одна из самых распространённых учебных задач.
Но String str = "Hello"; и String str = new String("Hello" совершенно разные вещи. String str = "Hello"; создаёт новую строку в пуле строк, если в пуле строк нет строки с таким литералем.
Конструктор придется вызывать явно, поскольку Java не позволяет изобретать собственный синтаксис, превращающий строковые литералы в объекты вашего класса.
А вот при выводе в консоль вы можете подать объект любого типа, и метод println дернет у него метод toString. Поэтому для вывода желаемого результата вам достаточно переопределить в классе Stroka метод toString, чтобы он возвращал value.