Программист - общее название. Есть множество различных специализаций, одно из них - программист для программных продуктов фирмы 1С, в основном программ для бухгалтерии и управления предприятием. WEB-разработчик - тут есть тоже много специализаций, одной из которых является программирование кодов сайтов.
В вузе обычно нет специальности «программист», а есть более конкретные направления. Например, у нас «Информационные системы и технологии», «Системы автоматизированного проектирования», «Информационная безопасность» и т. д.
Я учился на «Информационных системах». У нас был курс по сетям, в ходе которого мы галопом по европам проскакали по HTML, CSS, JavaScript и PHP. Позже выяснилось, что для работы этого всё равно мало и нужно доучиваться.