Можно. Но курсы выпускают не программистов, а, в лучшем случае, "техников-программистов" (в терминах госреестра профессий) - малообразованную дешёвую рабочую силу на конвейер типовых рутинных задач.
И дело не в "обязательном высшем образовании", а в объёме знаний. "Курсы программирования" обучают не программированию, а написанию типового кода, решающего типовые задачи в границах заданной песочницы.