Странно составлен вопрос: программист - разработчик синонимы. Или вы считаете веб-разработчика не программистом? Что касается разработчика игр и веб-разработчика - естественно нужно, если это веб-игры браузерные. А вообще насколько я знаю: программист изучает то что ему необходимо знать для выполнения поставленной задачи в данный момент времени. У вас всеравно не получится все распланировать наперед. Сегодня вам может и не нужно знать веб, а через неделю вдруг понадобится для выполнения разовой задачи. Ни один узконаправленный спец от этого не застрахован. А тем более зная как быстро развивается и как часто меняются it-технологии нет смысла заранее изучать не особо нужный вам сейчас фреймоворк, который через месяц уже будет неактуален. Както так.